PDA

Bekijk Volledige Versie : De Gulden Snede, waarom vinden we iets "mooi".



jaap
21-01-13, 03:49
De gulden snede duikt op allerlei onverwachte plaatsen op, zoals in de architectuur, bij de lengte van je vingerkootjes, bij een bloemkool, de vorm van een boom.
De gulden snede is een stukje eeuwenoude raadselachtige wiskunde. De gulden snede of ‘Divina Proportia’ (goddelijke proportie) kort men af met de Griekse letter Φ (spreek uit: ‘Fie’). Φ heeft niets met π te maken. π ken je wel van de wiskundeles. Het drukt de verhouding van de diameter van een cirkel uit in relatie tot de omtrek en heeft als waarde 3,14. Φ geeft een verhouding van lijnstukken aan – vandaar de Engelse naam: The Golden Ratio.
Sommige onderzoekers denken dat de beroemde piramides van de oude Egyptenaren zijn gebouwd op basis van het getal Φ.

De Griekse wijsgeer Euclides beschreef als eerste het getal Φ, maar men gebruikte de gulden snede waarschijnlijk al eerder. De oude Egyptenaren bouwden hun piramides op basis van de gulden snede. Ook in het Parthenon, een tempel ter ere van de godin van welvaart en vrede Athena, kun je Φ terugvinden. Φ is ook op andere plaatsen te ontdekken: bijvoorbeeld in de verhouding tussen de lengte van het middelste botje in je vinger tot het langste botje en het kortste botje. Ook in het hartslagpatroon – zichtbaar gemaakt op een ECG – is tussen de hartslagen de verhouding van Φ terug te vinden. In de vroege middeleeuwen bedacht Fibonacci het antwoord op de vraag waarom deze verhouding zo vaak terug te vinden is.

In 1202 publiceerde Leonardo Fibonacci een bijzondere rij getallen: elk getal van de rij (behalve de eerste twee) is gelijk aan de som van de twee voorgaande getallen. Dat levert de volgende rij getallen op: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, enzovoorts. De Fibonacci-reeks zit vol met eigenaardigheden, zoals elke optelsom van tien opeenvolgende getallen uit de reeks is deelbaar door elf (probeer maar eens). Om de zestig getallen herhaalt het laatste cijfer, bijvoorbeeld het tweede getal is 1, het tweeënzestigste getal in de reeks eindigt op een 1 (….4052739537881), het 122ste getal in de reeks eindigt op een ….. 1 (…..14028366653498915298923761), etcetera.


De Fibonacci-reeks vormt de rekenkundige basis voor de gulden snede. Dit is in 1611 ontdekt door de beroemde astronoom Johannes Kepler. Als je een getal uit de Fibannaci-reeks deelt door zijn voorganger uit de reeks, dan benadert de breuk het gulden-snede-getal Φ. In de tabel staan enkele getallen uit de Fibonacci-reeks gedeeld door het voorgaande getal, afgerond op vijf decimalen.
De Fibonnanci-reeks komt in de natuur op allerlei onverwachte plaatsen voor. Als je bijvoorbeeld goed kijk naar de verdeling van de zonnebloemzaden in een zonnebloem, kun je spiralen zien waarvan sommige met de klok meedraaien en sommige tegen de klok in lopen. De grootte van de zonnebloem bepaalt het aantal spiralen. Meestal tel je 34 spiralen die de ene kant op wijzen en (je raadt het al) 55 die de andere kant op wijzen. Bestudeer eens een bloemkool van de bovenkant. Als je goed kijkt, kun je hier ook een spiralenpatroon zien (meestal 5 met de klok mee en 8 tegen de klok in). Ook de rangschikking van blaadjes rond de stengel van een plant volgt vaak de beroemde reeks. De blaadjes zitten niet allemaal aan dezelfde kant van een stengel, maar staan spiraalsgewijs om de stengel. Het aantal blaadjes per omloop volgt de Fibonacci-reeks, bijvoorbeeld per omwenteling om de stam staan twee blaadjes (1/2) of acht blaadjes per drie omwentelingen.

3520

Wonderlijke spiraal
Deze logaritmische spiraal komt in de natuur veelvuldig voor. Deze wonderlijke spiraal (Spiralis Mirabilis) wordt ook wel de Spiraal van Archimedes genoemd. Archimedes was helemaal gebiologeerd door spiralen en schreef er zelfs een compleet boek over.Veel slakkenhuizen zijn volgens dit patroon opgebouwd. Ook de hoorns van bijvoorbeeld een ram volgen dit patroon, maar ook sterrenstelsels. Uit figuur 5 blijkt dat de Spiralis Mirabilis rechtstreeks uit Φ is afgeleid. Kunstenaars maken veelvuldig van de spiraal gebruik. In de krullen van Leda, op het schilderij Leda en de zwaan van Leonardo da Vinci kun je ook de Spira mirabilis vinden.

3521


Knappe vriendin
Waarom stemt het ene schilderij meer met de werkelijkheid overeen dan een ander schilderij? Volgens Pacioli (1445- 1517) – een Italiaanse wiskundige kloosterling – komt dat doordat de schilder de wetten van de wiskunde gehoorzaamt. Diepte in een schilderij, de verdeling van ruimtelijke vlakken over het linnen, liggen volgens Pacioli allemaal vast in wiskundige verhoudingen zoals Φ. Hij schreef drie boeken (bekend onder de naam ‘De Divina Proportione’) waarin hij de schilderkunst tot wiskundige figuren en vergelijkingen probeerde terug te brengen. Ook schilders uit recentere tijden zoals Mondriaan gebruikten bewust dan wel onbewust de gulden snede.
Niet alleen in de kunst kom je Φ tegen, ook menselijke schoonheid volgt de wetten van de gulden snede. In het menselijke gezicht vind je allerlei verhoudingen die de gulden snede benaderen. Bijvoorbeeld de verhouding van de lengte van je neus tot de breedte. Of de afstand tussen je ogen tot de totale breedte van je gezicht. Misschien verklaart het aantal gulden sneden die in het gezicht voorkomen, of iemand knap is of niet. Dus als je wilt weten of je een knappe vriend of vriendin aan de haak hebt geslagen, moet je op zoek naar de gulden snede in zijn of haar gezicht!

3522

Jaap

met dank aan o.a. kennislink.

jaap
21-01-13, 03:52
Onze collega houtbewerker Steve Ramsey geeft op zijn manier uitleg over de gulden snede, Fibonacci en laat zien hoe je een Fibonacci passer maakt.


https://www.youtube.com/watch?v=s37RP3mVnTg

jaap

jaap
21-01-13, 04:00
Een nog een uitleg in het Engels met een artikel uit FWW.

Bijtel
21-01-13, 09:02
In de architectuur is de gulden snede een tijdje "hot" geweest. Maar daarna besefte men dat ook andere verhoudingen mooi kunnen zijn. En er zijn ook andere redenen om andere verhoudingen te kiezen (vooral praktische). Volgens mij wordt de gulden snede daarom nu weinig meer gebruikt door ontwerpers.

Ik denk dat als je het gebruikt, je bijna verplicht bent om het tot in detail door te voeren. Bijvoorbeeld als je een keurig 5/8 raam plaatst in een gevel, dan moeten ook de rand- en tussenafstanden in verhouding zijn, anders wordt het juist weer lelijk. Het gebruik van de gulden snede geeft dus geen garantie op een mooi ontwerp.

damien
21-01-13, 09:08
Best interessant, nu ten bevordering van een discussie:

George Walker neemt de gulden snede met een korrel zout. 3/5 en 5/8 lijken er sterk op, zijn gemakkelijker te plaatsen met een passer en komen in de praktijk veel voor.

http://georgewalkerdesign.wordpress.com/2010/01/29/golden-rectangle-a-different-viewpoint/

(ik zie dat bijtel mij voorgaat)

jan pranger
21-01-13, 09:16
Vormen zijn weer te geven in getallen. Maar is iets wat aan getallen voldoet ook mooi te noemen. Voor mooi komt letterlijk meer kijken.
Vertalen onze hersenen wel wat we "zien" of worden onze ogen voor de gek gehouden door combinaties van lijnen, vormen, kleuren en de onderlinge invloeden daarvan op elkaar. Met andere woorden de "Gulden Snede" kan dodelijk saai zijn. Er is dus meer.
De bouwers van de piramiden van Egypte (Gizeh b.v.) hadden slechts de beschikking over passer en liniaal.
Met de passer maakten ze (soms ook overlappende) cirkels en vanuit punten op de cirkel trokken ze identieke krommingen. Met de liniaal verbonden ze punten op die cirkelfiguren en ontdekten het exacte vierkant als basis voor hun piramiden.
Eén van die basisfiguren was het visblaasmotief zoals de vaas van mijn object.
Voor de tweejaarlijke expositie en houtdraaidagen in Duitsland (Neu Anspach bij Frankfurt am Main) zat ik als voorstudie te lezen in het boek "Sacrale Geometrie"van Nigel Pennick en prof.ir M.Gout - isbn.90.6271.952.X).
Hierin trof mij de beschrijving van het visblaasmotief. De cirkel als basis van dit motief en visblaasvorm koos ik voor mijn ontwerp.
Een bol, een vaasje (visblaasmotief) en een schaaltje (˝ visblaasmotief).
Dat exacte vierkant midden in het visblaasmotief werd later door Pythagoras ontdekt voor zijn verhoudingen 3:4:5.
Om rechthoeken te krijgen in de juiste proporties verlengden de piramidebouwers dit vierkant door de passerpunt in de hoek linksonder de plaatsen en de andere tekenpunt in de rechter bovenhoek. Dan maakten ze met de tekenpunt een beweging naar de basislijn en richten in dit punt een loodlijn op tot de bovenzijde van het vierkant. De bovenlijn werd doorgetrokken en er ontstond een rechthoek op basis van het vierkant. Dit werd 5x herhaald (wortel 5) met als gevolg a2=b2+c2 (Pythagoras).
Omdat deze kennis nog steeds over de gehele wereld gebruikt wordt heb ik de drie hoofdvormen op een golf geplaatst die "de hele wereld omspoelt". Om het permanente karakter van deze kennis aan te geven plaatste ik het geheel op een stuk basalt.
Tijdens die houtdraaishow werd dit ontwerp uitgekozen voor plaatsing in de boekuitgave van die expositie (FaszinationsDrechseln 2 uitgegeven door Holzwerken en verkrijgbaar bij www.drechselbedarf-schulte.de.
Een voorbeeld hoe geometrische vormen gebruikt kunnen worden bij vormgeving - zie ook Mondriaan.
En nu de foto's.
vr.gr. Jan Pranger.

knotwilg
21-01-13, 09:40
De gulden snede moet niet als een absolute waarheid gezien worden. Ze is veel meer een "lekker gemiddelde". Vraag 1000 mensen een rechthoek op papier te tekenen en met wat statistiek zie je dat het merendeel dicht bij de gouden verhoudingen liggen. Het zit min of meer ingebakken.

Alleen maar de gulden snede gebruiken geeft een erg statisch resultaat, de spanning wordt juist opgeroepen door er mee te spelen. Net als met symmetrie, da's saai, maar gelijkvormigheid zonder absolute symmetrie wordt ineens weer interessant en spannend. Chistopher Alexander (http://en.wikipedia.org/wiki/Christopher_Alexander) heeft veel onderzoek gedaan naar 'patronen' die we wel / niet mooi vinden, e.a. is na te lezen in zijn reeks Nature of Order (http://natureoforder.com/).

Schoonheid is een emotie. Hoe sterker die emotie hoe meer schoonheid we ervaren. Schoonheid kan ook met sterk negatieve gevoelens gepaard gaan: "een prachtige fotoserie over het slachten van een varken" en toch als "mooi" ervaren worden.

i.

ArtHarg
21-01-13, 10:27
Ik denk dat het ook te maken heeft met de geometrische definitie van phi: a:b=b:(a+b), ofwel, het is de snede waarbij het langste deel zich verhoudt tot het kortste deel zoals de totale lengte zich verhoudt tot het kortste deel. Het is een symmetrie die er inzit. En mensen zijn er goed in om patronen te herkennen. Zó goed dat ze ook 3/5 en 5/8 als "goed genoeg" accepteren.

Ik vraag me af of er weleens hersenonderzoek is gedaan om te kijken wat er gebeurt als mensen symmetrische patronen en patronen met de gulden snede waarnemen?

ArtHarg
21-01-13, 10:38
Om rechthoeken te krijgen in de juiste proporties verlengden de piramidebouwers dit vierkant door de passerpunt in de hoek linksonder de plaatsen en de andere tekenpunt in de rechter bovenhoek. Dan maakten ze met de tekenpunt een beweging naar de basislijn en richten in dit punt een loodlijn op tot de bovenzijde van het vierkant. De bovenlijn werd doorgetrokken en er ontstond een rechthoek op basis van het vierkant. Dit werd 5x herhaald (wortel 5) met als gevolg a2=b2+c2 (Pythagoras).
Is dit de constructiemethode die ze gebruikten? Ik had verwacht dat ze de simpeler methode wel zouden kennen: deel de basislijn in 2, zet de passerpunt in het midden en de tekenpunt rechtsboven en cirkel om naar de basislijn. Trek daar een loodlijn, verleng de bovenkant en je bent klaar. (Kijk maar: phi = 1/2+ 1/2 wortel 5 = 1/2 + wortel ((1/2)^2 +1^2). Het eerste stuk is de halve basislijn, het tweede de diagonaal van de rechterrechthoek)

Interessante gedachtengang achter dat beeld trouwens!

mans
21-01-13, 15:10
de passer.
3529

WoodRob
21-01-13, 19:44
Kennissen hebben mij gevraagd om een keukentafel te maken, gebaseerd op de Gulden Snede. Nu is dit op zich niet al te moeilijk: je maakt de verhouding lengte/breedte gelijk aan 1,618 (Φ) en je bent eigenlijk al klaar. Nu wordt het al een heel stuk lastiger als de gewenste lengte ongeveer 230 cm. en de gewenste breedte ongeveer 75 cm. moet worden. Dit levert bij lange na niet de gewenste verhouding op. Ook in de hoogte kom je niet erg lekker uit, want een tafel moet toch ongeveer 75 cm. hoog zijn en als je met Φ in gedachte hier een breedte of lengte bij gaat zoeken, kom je totaal niet in de buurt van de gewenste afmetingen.

Ik kan tot nu toe maar twee oplossingen bedenken:

- Twee tafels van 75 bij 121 cm. Deze voldoen aan de gewenste verhouding en als je er twee aan elkaar schuift heb je iets meer dan de gewenste lengte.
- Een lange tafel met een duidelijke scheidslijn in het midden, waardoor het lijkt of je twee tafels hebt.

Wat zoeken op internet, leverde de volgende tafel (http://www.nautabene.nl/pages/collectie/salontafel-fibonacci-1.htm) op. Dit is zeker een mogelijkheid, ware het niet dat de tafel uitgevoerd 'moet' worden met oude vloerdelen.

In een boek wordt nog een andere oplossing aangedragen: uitgaande van een breedte van 75 cm., wordt de hoogte 75 / 1,618 = 46 cm. Dit is natuurlijk veel te laag, dus verleng je de poot met 46 x 0,618 (Φ) = 28 cm. Je komt dan op 74 cm. en dit is een acceptabele hoogte voor een tafel. Door nu deze 28 cm. van elke poot afwijkend van de rest van de poot uit te voeren (ander hout, andere kleur, andere vorm etc.), wordt het oog van de mens gefopt en ziet het toch de ideale verhouding. Ik vind dit zelf een nogal gekunstelde oplossing, maar goed.

Heeft iemand van jullie nog andere ideeën?

WR1944
21-01-13, 21:27
Ik heb een nauwelijks waarneembaar gevoel voor estetica. Ik ga uit van de functie en de beschikbare ruimte waar iets in moet passen, de beschikbare materialen en gereedschappen en m'n aanwezige handvaardigheden en maak daar het ontwerp op. En ik slaap er heerlijk van, geen nachten lang rondwoelen in m'n bed omdat er een verhouding niet helemaal klopt. Zolang ik me niet volgens de wet aan de gulden snede of een andere verhouding moet houden ga ik lekker m'n gang. Maar ik vind het wel leuk om over de historische achtergronden te lezen.

ArtHarg
22-01-13, 13:25
@Woodrob,

Je kan de hoogte ook gelijk houden aan de breedte van de tafel (75cm) en dan op 75/Φ=46.4 cm van de bovenkant een inlegstukje van messing of RVS maken. Dat breekt de poot visueel ook in een gulden verhouding.

Ik heb gisteravond nog even zitten rekenen of het met contrasterende biezen rondom 1 of 2 gulden rechthoeken zou lukken, maar met 75x230 levert dat niks op.

WoodRob
22-01-13, 15:49
Dat is inderdaad ook nog een idee, bedankt voor de tip.

houtekop
25-01-13, 14:20
@WoodRob: Als je de tafel halverwege in tweeën splitst (ofwel door twee tafels tegen elkaar, danwel door een rechte streep midden op de lange tafel) schiet je meteen je doel voorbij. Je gebruikt dan niet de gulden verhouding, maar je haalt het gewoon recht-toe recht-an in tweeën.
Beter - als in meer gulden snede achtig - is om de lengte/breedte verhouding zoals WR1944 zegt te maken naar gewenst gebruik. Mocht dat heel dicht tegen de gulden snede aanzitten, dan kan je je ontwerp ernaar aanpassen. Liever zou ik naar verdeling per maat in plaats van het geheel gaan. zie de onderstaande tekening:
3593
Waarbij opgemerkt moet worden dat dit uit de losse pols is geschetst. Maar verdeel je de lengte van de tafel zoals boven, dan is het al een stuk spannender dan wanneer je de lijn precies in het midden zet.
Gerelateerd hieraan de onderstaande verdeling. Trek je met verticale en horizontale lijnen op de juiste gulden snede afstanden lijnen over het toekomstige tafelblad, dan zijn op de kruispunten van die lijnen de punten (in de tekening genummerd van 1..4 ) waar het oog als vanzelf naar toe word getrokken. Als je daar dus iets laat gebeuren (dikke knoest, mooie roestige ouwe spijkerresten, het is tenslotte oud hout) dan maak je gebruik van de gulden snede verhouding, en je tafel wordt subiet spannender! Je zou natuurljk ook je tafel in twee ongelijke tafels kunnen opknippen, en van deze lijnen gebruik maken.
Mocht je nou precies een kruis over de hoekpunten trekken, zoals in de rechter tekening, dan zie je het punt gemarkeerd wat buitengewoon _niet_ spannend is: het midden van het midden. Ik probeer dit punt zoveel mogelijk te vermijden, omdat ik het een aandachttrekkend lelijk punt vind. Het heeft zo zijn functie hoor, maar als ik het gebruik ziet het ontwerp er meteen zo stevig en statisch uit, terwijl het manco van mijn ontwerpen vaak de lompheid is.

3592
Arno